ADMIS_Walker のぶろぐ: 7月 2018

2018年7月21日

Abstract

本投稿では，不偏分散の定義とその解釈について説明する．不偏分散

σ_{u}^{2}

$\sigma_u^2$ は， 1) 標本分散の期待値

E [σ^{2}] = \frac{n - 1}{n} σ_{0}^{2}

$E[\sigma^2]=\frac{n-1}{n}\sigma_0^2$ と， 2) 母分散

σ_{0}^{2}

$\sigma_0^2$ の偏りを無くすため，標本分散

σ^{2}

$\sigma^2$ を

\frac{n}{n - 1}

$\frac{n}{n-1}$ 倍した値として定義される．このように，不偏分散は，期待値について偏りの無い分散として定義される．数式の解釈について，サンプル数が有限の場合 (特に，サンプル数が極端に少ない場合)，母分散の範囲に当たりをつけるには，分散を広めに見積もる必要がある．

\frac{n}{n - 1}

$\frac{n}{n-1}$ 倍は，1) と 2) を比較して，どの程度範囲を広げれば母分散の範囲を指示できるか，を計算した値と考えられる．

※

n_{0}

$n_0$ は母数，

n

$n$ は標本の数 (サンプル数)，

¯ ¯ ¯ x \equiv \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}

$\overline{x}\equiv\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i}$ は標本平均，

σ^{2} \equiv \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - ¯ ¯ ¯ x)^{2}

$\sigma^2\equiv\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2$ は標本分散，

{¯ ¯ ¯ x}_{0} \equiv \frac{1}{n_{0}} \sum_{i = 1}^{n_{0}} x_{i}

$\overline{x}_0\equiv\frac{1}{n_0}\sum_{i=1}^{n_0}{x_i}$ は母平均，

σ_{0}^{2} \equiv \frac{1}{n_{0}} \sum_{i = 1}^{n_{0}} (x_{i} - ¯ ¯ ¯ x)^{2}

$\sigma_0^2\equiv\frac{1}{n_0}\sum_{i=1}^{n_0}(x_i-\overline{x})^2$ は母分散，

σ_{u}^{2} \equiv \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - ¯ ¯ ¯ x)^{2}

$\sigma_u^2\equiv\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2$ は不偏分散，をそれぞれ表す．